Question

（本小題滿分14分）
　　已知：函數(shù)（），．
　　（1）若函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線距離的最小值為，求的值；
　　（2）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
　　（3）對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得不等式和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”。設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）
（2）
（3）所求“分界線”方程為：．

解：
　　（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164357142328.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，令
　　　　 得：，此時(shí)，
　　　　 則點(diǎn)到直線的距離為，
　　　　 即，解之得或．　
　　　　 經(jīng)檢驗(yàn)知，為增解不合題意，故
　　（2）法一：不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，
　　　　 　　　等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解，故，
　　　　 　　　令，由且，
　　　　 　　　所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，
　　　　 　　　則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間，
　　　　 　　　故解之得．
　　　　 法二：恰有三個(gè)整數(shù)解，故，即，
　　　　　　　 ，
　　　　　　 　所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164358873356.gif" style="vertical-align:middle;" />，
　　　　　　 　所以，解之得．
　　（3）設(shè)，則．
　　　　 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
　　　　 因此時(shí)，取得最小值，
　　　　 則與的圖象在處有公共點(diǎn)．　　　　　　　
　　　　 設(shè)與存在 “分界線”，方程為，
　　　　 即，
　 由在恒成立，則在恒成立 ．
　 所以成立，因此．
　　　　 下面證明恒成立．
　　　　 設(shè)，則．
　　　　 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
　　　　 因此時(shí)取得最大值，則成立．
　　　　 故所求“分界線”方程為：．