Question

（2012•天門模擬）（1）如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過點C作圓的切線l，過點A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，則線段AE的長為

4

．
（2）在平面直角坐標系下，曲線C₁：

x=2t+2a y=-t

（t為參數），曲線C₂：

x=2sinθ y=1+2cosθ

（θ為參數），若曲線C₁、C₂有公共點，則實數a的取值范圍為

[1-

5

，1+

5

]

．

Answer 1

分析：（1）連接AC，則AC⊥BC．由條件得AC=4

3

，∠DCA=60°，所以DC=2

3

，DA=6．由切割線定理，求得DE=

12

6

=2，可得AE=AD-DE 的值．
（2）把兩曲線的參數方程化為普通方程，可得兩曲線分別為直線和園，由題意可得圓心到直線的距離小于或等于半徑，即

|2-2a|

5

≤2，由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）連接AC，則AC⊥BC．由條件得AC=4

3

，∠DCA=60°，所以DC=2

3

，DA=6．由切割線定理，得DC²=DE•DA，所以DE=

12

6

=2，
因此AE=6-2=4．
故答案為 4．
（2）化為普通方程，得C₁：x+2y-2a=0，C2：x2+(y-1)2=4．
由題意得，圓心到直線的距離小于或等于半徑，即

|2-2a|

5

≤2，即|a-1|≤

5

，解得1-

5

≤a≤1+

5

，
故答案為[1-

5

，1+

5

]．

點評：本題主要考查直線和圓的參數方程、與圓有關的比例線段，絕對值不燈似的解法，屬于中檔題．