Question

已知兩個(gè)正四棱錐有公共底面，且底面邊長為4，兩棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上若這兩個(gè)正四棱錐的體積之比為1：2，則該球的表面積為

36π

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩個(gè)正四棱錐有公共底面，可得棱錐高之和即為球的直徑，結(jié)合底面邊長為4，則底面截球所得圓的半徑為2，結(jié)合勾股定理求出球半徑可得球的面積．

解答：解：∵兩個(gè)正四棱錐有公共底面且兩個(gè)正四棱錐的體積之比為1：2，
∴兩個(gè)正四棱錐的高的比也為1：2
設(shè)兩個(gè)棱錐的高分別為X，2X，球的半徑為R
則X+2X=3X=2R
即R=

3X

2

球心到那個(gè)公共底面距離是

X

2

，
又∵底面邊長為4
∴R²=（

3X

2

）²=（

X

2

）²+2²，
解得x=

2

∴R=

3 2

2

該球的表面積S=4πR²=36π
故答案為：36π

點(diǎn)評：本題給出兩個(gè)正四棱錐有公共的底面，求外接球表面積，考查了正四棱錐的性質(zhì)和球內(nèi)接多面體等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題