Question

已知函數f(x)=4

3

sin

x

2

cos

x

2

-2+4cos2(

π

2

+

x

2

)
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）=0，求

2cos2 x 2 -sinx-1

2 sin(x+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，結合x的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數的最值求出最大值與最小值．
（Ⅱ）通過f（x）=0，求出tanx的值，化簡是表達式為tanx的形式，代入求值即可．

解答：解：（I）f(x)=4

3

sin

x

2

cos

x

2

-2+4cos2(

π

2

+

x

2

)
=2

3

sinx-2cosx
=4（

3

2

sinx-

1

2

cosx）
=4sin（x-

π

6

）．…（3分）
又∵x∈[0，π]，∴-

π

6

≤x-

π

6

≤

5π

6

，-2≤4sin(x-

π

6

)≤4，
f（x）_min=-2，f（x）_max=4．…（6分）
（II）由于f（x）=0，
∴2

3

sinx-2cosx=0，∴tanx=

3

3

．…（8分）
∴

2cos2 x 2 -sinx-1

2 sin(x+ π 4 )

=

cosx-sinx

2 ( 2 2 sinx+ 2 2 cosx)

=

cosx-sinx

sinx+cosx

=

1-tanx

1+tanx

=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

…（12分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，三角函數的化簡求值，二倍角公式的應用，考查計算能力．