Question

已知函數(shù)，且）．

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）若，方程f (x) =2 a x有惟一解時(shí)，求的值。

Answer 1

（1）當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),f(x)在(0,+)上是增函數(shù) ；當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),f(x)在是減函數(shù),在是增函數(shù)   （2） 

解析:

(1)由已知得，x＞0且．

當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),則,則f(x)在(0,+)上是增函數(shù); ……（2分）

當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),則,,　 ……（3分）

所以當(dāng)x時(shí),, 當(dāng)x時(shí),，

故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),f(x)在是減函數(shù),在是增函數(shù)．……（5分）

（Ⅱ）若，則）

記g (x) = f (x) – 2ax = x ² – 2 a xlnx – 2ax,

     ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；……（6分）

令,得，

（舍去）……（7分）

當(dāng)時(shí)，,在是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，,在上是單調(diào)遞增函數(shù)。

當(dāng)x=x₂時(shí), ,    …………（8分）

有唯一解， 

則，即  ………（9分）

    …………（10分）

設(shè)函數(shù)，

∵在x>0時(shí), h (x)是增函數(shù)，∴h (x) = 0至多有一解。

∵h (1) = 0, ∴方程(*)的解為x ₂ = 1，即，解得。…………（12分）