Question

如圖，已知四邊形為梯形，， ，四邊形為矩形，且平面平面，，點為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求三棱錐的體積．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）．

試題分析：（Ⅰ）取中點，可以證明四邊形為平行四邊形，即，∴∥平面；
（Ⅱ）證明平面即可；（Ⅲ）改變四面體（三棱錐）的頂點，取C即可；或者利用比例．
試題解析：（Ⅰ）取中點，連．

∵為對角線的中點，∴，且，
∴四邊形為平行四邊形，即；或者可以采用比例的方法求解．
又∵平面，平面，∴∥平面．             4分
（Ⅱ）∵四邊形為矩形，且平面平面，∴平面，∴；
∵四邊形為梯形，，且，∴．
又在中，，且，∴，，∴．
于是在中，由，，及余弦定理，得．
∴，∴．∴平面，
又∵平面，∴平面平面．                   9分
（Ⅲ）作，垂足為，由平面平面得平面．
易求得，所以三棱錐的體積為
．       13分．
【法二】連接，則、、三點共線，故