Question

如圖，在△ABO中，D、C分別在AO，BO邊上，AC，BD交于點M，且AM•MC=BM•MD．
（I）證明：∠1=∠2；
（II）證明：A、B、C、D四點共圓．

Answer 1

分析：（I）由已知中AM•MC=BM•MD，根據相似三角形判定定理可得△AMD∽△BMC，進而可由對應角相等得到答案．
（II）由（I）中結論，類比可得，∠DAC=∠DBC，同理可證：∠BAC=∠BDC，∠ACD=∠ABD，進而根據四邊形內角和為360°，得到四邊形對解互補，進而得到A、B、C、D四點共圓．

解答：證明：（I）∵AM•MC=BM•MD．
∴

AM

BM

=

MD

MC

，又∵∠AMD=∠BMC
∴△AMD∽△BMC
∴∠1=∠2；
（II）由（I）知，∠DAC=∠DBC
同理可證：∠BAC=∠BDC，∠ACD=∠ABD
∵∠1+∠2+∠DAC+∠DBC+∠BAC+∠BDC+∠ACD+∠ABD=360°
∴∠2+∠DAC+∠BAC+∠ACD=180°
∴A、B、C、D四點共圓

點評：本題考查的知識點是相似三角形的判定與性質，圓內接四邊形的判定，熟練掌握相關定理是解答的關鍵．