Question

已知橢圓經過點A（2，1），離心率為．過點B（3，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍；
（Ⅲ）設直線AM和直線AN的斜率分別為k_AM和k_AN，求證：k_AM+k_AN為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據離心率和（2，1）點代入橢圓方程可求得a和c，進而求得b，方程可得．
（Ⅱ）由題意顯然直線l的斜率存在，設直線l方程為y=k（x-3），聯立直線與橢圓的方程，消去y得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．因為直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，所以△＞0，可得-1＜k＜1．再用坐標表示出即可求的取值范圍．
（Ⅲ）由（Ⅱ）用坐標表示出k_AM+k_AN化簡即可．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，解得，．故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）由題意顯然直線l的斜率存在，設直線l方程為y=k（x-3），
由得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．
因為直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，所以△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．
設M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則，，
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
所以
=（1+k²）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]==．
因為-1＜k＜1，所以．
故的取值范圍為（2，3]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得k_AM+k_AN=
==
==．
所以k_AM+k_AN為定值-2．
點評：本題主要考查了橢圓方程的求解，考查直線與橢圓的位置關系，利用直線與橢圓方程聯立，借助于根與系數的關系，從而使問題得解．