Question

已知

a

，

b

是兩個非零向量，當

a

+t

b

（t∈R）的模取最小值時，
①求t的值．
②已知

a

與

b

共線且同向，求證：

b

與

a

+t

b

垂直．

Answer 1

分析：①令m=|

a

+t

b

|，

a

，

b

夾角為θ，對m²進行變形，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得其取最小值時t的值；
②當

a

與

b

共線且同向時，cosθ=1，只需證明

b

•（

a

+t

b

）=0即可；

解答：解：①令m=|

a

+t

b

|，

a

，

b

夾角為θ，
則m2=|

a

+t

b

|2=

a

2+t2

b

2+2|

a

||

b

|cosθ•t
=

b

2t2+2|

a

||

b

|cosθ•t+

a

2
=

b

2(t2+2|

a

|

1

| b |

cosθ•t+

a 2

b 2

cos2θ)+

a

2-

a

2cos2θ=

b

2(t+

| a |

| b |

cosθ)2+

a

2(1-cos2θ)，
所以當t=-

| a |

| b |

cosθ時，mmin=|

a

|sinθ；
②證明：因為

a

與

b

共線且同向，所以cosθ=1，
所以t=-

| a |

| b |

，
所以

b

•(

a

+t

b

)=

a

•

b

+(-

| a |

| b |

)

b

2=|

a

||

b

|-|

a

||

b

|=0，
所以

b

⊥(

a

+t

b

)．

點評：本題考查利用平面向量的數(shù)量積證明向量垂直，屬基礎題．