Question

已知橢圓C：的右頂點A（2，0），離心率為，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知P（異于點A）為橢圓C上一個動點，過O作線段AP的垂線l交橢圓C于點E，D，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據A（2，0）是橢圓C的右頂點，可得a=2，利用，可得，從而b²=a²-c²=4-3=1，故可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）當直線AP的斜率為0時，可得；當直線AP的斜率不為0時，設出直線AP、DE的方程，分別與橢圓方程聯立，求出|AP|，|DE|，進而利用導數，即可確定的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為 A（2，0）是橢圓C的右頂點，所以a=2．
又，所以 ．
所以 b²=a²-c²=4-3=1．
所以橢圓C的方程為．…（3分）
（Ⅱ）當直線AP的斜率為0時，|AP|=4，DE為橢圓C的短軸，則|DE|=2，所以．…（5分）
當直線AP的斜率不為0時，設直線AP的方程為y=k（x-2），P（x，y），
則直線DE的方程為．…（6分）
由得x²+4[k（x-2）]²-4=0，即（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0．
所以，所以 ．…（8分）
所以 ，即 ．
類似可求．
所以．…（11分）
設，則k²=t²-4，t＞2．
∴．
令，則．所以 g（t）是一個增函數．
所以 ．
綜上，的取值范圍是．…（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查導數知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．