Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中點，
（ⅰ）求證：BF∥平面ACP；
（ⅱ）求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值為

6

3

，求PF的長度．

Answer 1

（Ⅰ）（ⅰ）證明：連接BD，交AC于點O，連接OP．
因為P是DF中點，O為矩形ABCD對角線的交點，所以OP為三角形BDF中位線，所以BF∥OP，
因為BF?平面ACP，OP?平面ACP，所以BF∥平面ACP．…（4分）
（ⅱ）因為∠BAF=90°，所以AF⊥AB，
因為平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，
因為四邊形ABCD為矩形，所以以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz．
所以B（1，0，0），E(

1

2

，0，1)，P(0，1，

1

2

)，C（1，2，0）．
所以

BE

=(-

1

2

，0，1)，

CP

=(-1，-1，

1

2

)，
所以cos＜

BE

，

CP

＞=

BE • CP

|BE |•| CP |

=

4 5

15

，
即異面直線BE與CP所成角的余弦值為

4 5

15

．…（9分）

（Ⅱ）因為AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量為

n1

=(1，0，0)．
設P點坐標為（0，2-2t，t），在平面APC中，

AP

=(0，2-2t，t)，

AC

=(1，2，0)，
所以平面APC的法向量為

n2

=(-2，1，

2t-2

t

)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

(-2)2+1+( 2t-2 t )2

=

6

3

，
解得t=

2

3

，或t=2（舍）．
此時|PF|=

5

3

．…（14分）