Question

設定義域為R的函數f(x)＝則關于x的方程f²(x)＋bf(x)＋c＝0有7個不同實數解的充要條件是

[　　]

A．b＜0且c＞0

B．b＞0且c＜0

C．b＜0且c＝0

D．b≥0且c＝0

Answer 1

答案：C
解析：

解析：先利用函數圖象的變換(翻折變換)作出f(x)的圖象，如圖． 　　注意f(x)＝0有三個根x1＝0．x2＝1，x3＝2，且有f(x)≥0，令f(x)＝t≥0，則方程為：t2＋bt＋c＝0有實數解(t≥0)需滿足：t1＋t2＝－b≥0，即b≤0，t1·t2＝c≥0，排除B，D(因B項：c＜0，D項b≥0＝．時于A不妨令b＝－3，c＝2，則方程為t2－3t＋2＝0．解之t1＝1，t2＝2，即f(x)＝1，或f(x)＝2，由圖知有8個根，排除A．故選C．實際上當b＜0，且c＝0時，f2(x)＋bf(x)＝0，f(x)＝0，或f(x)＝－b＞0．由f(x)＝－b＞0，結合圖象，此時有4個根，f(x)＝0有根為0，1，2．計7個．

提示：

本題主要考查方程根的問題，充要條件等知識．通過數形結合法、篩選法獲得正確答案．