Question

已知函數f（x）=ax²+bx+3a+b是定義在[a-1，2a]（a，b∈R）上的偶函數，則f（x）的值域為

[1，

31

27

]

．

Answer 1

分析：根據函數是偶函數的性質列出方程組，求出a和b，代入求出函數解析式和定義域對應的區間，根據函數在定義域上的單調性，求出最大值和最小值，即求出值域．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx+3a+b是[a-1，2a]上的偶函數，
∴

b=0 a-1+2a=0

，∴a=

1

3

，b=0，
∴f（x）=

1

3

x²+1，定義域是[-

2

3

，

2

3

]，
∴f（x）在[-

2

3

，0]上單調遞減，在[0，

2

3

]上單調遞增，
∴當x=0時，f（x）取最小值為1，
當x=±

2

3

時，f（x）取最大值為

31

27

，
∴f（x）的值域為[1，

31

27

]，
故答案為：[1，

31

27

]．

點評：本題考查了函數是偶函數的性質，及二次函數求最值問題，要掌握二次函數是偶函數的充要條件，二次函數的最值與二次函數的開口方向和對稱軸有關．屬于基礎題．