Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E為棱BC的中點，F為棱CD上的動點.

(1)試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

(2)當D₁E⊥平面AB₁F時，求二面角B₁AFB的大小.

Answer 1

解：(1)如圖示，建立空間直角坐標系，則點A(0,0,0)、B₁(1,0,1)、D₁(0,1,1)、E(1,,0)，設F(a,1,0)，=(1,-,-1)，=(a,1,0)，=(1,0,1).

∵D₁E⊥平面AB₁F，∴·=0，·=0，∴a=，即F為棱CD的中點.

(2)平面AB₁F的一個法向量為=(1,-,-1)，平面ABF的一個法向量為=(0,0,1)，

∴cos〈,〉==-.又可知二面角B₁-AF-B為銳二面角，∴二面角B₁-AF-B的大小為arccos.