Question

已知定義在R上的奇函數f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1處取得極值．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）試證：對于區間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據函數的奇偶性判斷b，d的值，在對函數進行求導，令f'（1）=0可求出c的值，進而確定函數解析式．
（2）根據函數的單調性求出f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值，然后對|f（x₁）-f（x₂）|進行放縮即可得證．
解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數，∴b=d=0，f（x）=x³+cx∴f'（x）=3x²+c
∵在x=±1處取得極值∴f'（1）=0∴c=-3
∴f（x）=x³-3x；
（2）證明：∵f'（x）=3x²-3
∴令f'（x）=3x²-3=0，x=±1且-1＜x＜1時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減
∵f（x）_max=f（-1）=2，f（x）_min=f（1）=-2
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=f（-1）-f（1）2+2=4．
點評：本題主要考查函數的單調性、極值與導函數之間的關系．屬基礎題．