Question

已知數列{x_n}滿足x₁=x₂=1并且為非零參數，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁、x₃、x₅成等比數列，求參數λ的值；
（2）設0＜λ＜1，常數k∈N^*且k≥3，證明

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=2，3，4代入到為非零參數，n=2，3，4，…）中得到x₁、x₃、x₅若它們成等比數列則根據x₃²=x₁x₅，即求出λ即可；
（2）設，由已知，數列{a_n}是以為首項、λ為公比的等比數列，化簡不等式左邊由0＜λ＜1，常數k∈N^*且k≥3得證．
解答：解：（1）解：由已知x₁=x₂=1，且
若x₁、x₃、x₅成等比數列，
則x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶．而λ≠0，
解得λ=±1．
（2）證明：設，由已知，數列{a_n}是以為首項、λ為公比的等比數列，
故，
則=λ^n+k-2．λ^n+k-3λ^n-1

因此，對任意n∈N^*，==
=
當k≥3且0＜λ＜1時，，
所以
點評：本小題以數列的遞推關系為載體，主要考查等比數列的等比中項及前n項和公式、等差數列前n項和公式、不等式的性質及證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力．