Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+a，
（1）當(dāng)a=2時，求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）求關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集；
（3）若f（x）+2x≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入可構(gòu)造不等式x²-3x+2＞0，解對應(yīng)的方程，進而根據(jù)二次不等式“大于看兩邊”得到原不等式的解集．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+a的解析式，可將f（x）＜0化為（x-a）（x-1）＜0，分類討論可得不等式的解集．
（3）若f（x）+2x≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即a≤

x2+x

x-1

在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，利用換元法，結(jié)合基本不等式，求出函數(shù)的最值，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時，則f（x）=x²-3x+2，由f（x）＞0，得x²-3x+2＞0，
令x²-3x+2=0，解得x=1，或x=2
∴原不等式的解集為（-∞，1）∪（2，+∞）
（2）由f（x）＜0得（x-a）（x-1）＜0，
令（x-a）（x-1）=0，得x₁=a，x₂=1，…5 分，
當(dāng)a＞1時，原不等式的解集為（1，a）；…6 分，
當(dāng)a=1時，原不等式的解集為∅；…（7分），
當(dāng)a＜1時，原不等式的解集為（a，1）．…（8分）．
（2）由f（x）+2x≥0即x²-ax+x+a≥0在（1，+∞）上恒成立，
得a≤

x2+x

x-1

..…9 分，
令t=x-1（t＞0），
則

x2+x

x-1

=

(t+1)2+t+1

t

=t+

2

t

+3≥2

2

+3，…13 分
∴a≤2

2

+3．
故實數(shù)a的取值范圍是(-∞，2

2

+3]…14 分

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．