Question

已知函數f(x)=

x

+a，g(x)=x+2a

x

(a＞0)，
（1）當a=1時，求|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|的最小值；  
（2）|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|＞5對x∈[1，4]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用換元法，可將求|

ag(x)+3f(x)

f(x)

| 的最小值轉化為利用基本不等式可求最小值；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|＞5整理可得at²-2t-a³＞0①或at²+8t-a³＜0②．構造函數φ（t）=at²-2t-a³，因為△=4+4a⁴＞0，結合該函數的圖象可求實數a的取值范圍．

解答：解：令f(x)=

x

+a=t，則g（x）=t²-a²，|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|=|

at2+3t-a3

t

|．
（1）當a=1時，t≥1，故t-

1

t

+3=

(t-1)(t+1)

t

+3≥3，因此|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|=|

t2+3t-1

t

|=|t-

1

t

+3|≥3，當且僅當t=1即x=0時取等號．
所以|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|的最小值是3；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|＞5整理可得at²-2t-a³＞0①或at²+8t-a³＜0②．因此①式或②式對于任意的t∈[1+a，2+a]恒成立．顯然at²+8t-a³=a（t²-a²）+8t＞0，故②式不成立．
令φ（t）=at²-2t-a³，因為△=4+4a⁴＞0，
結合該函數的圖象可得

φ(1+a)＞0 1 a ＜1+a

或

φ(2+a)＞0 1 a ＞2+a

?（ I）

2a2-a-2＞0 a2+a-1＞0

或（ II）

2a2+a-2＞0 a2+2a-1＜0

．
結合a＞0可知不等式組（ I）的解為a＞

17 +1

4

，不等式組（ II）無解．所以a＞

17 +1

4

．

點評：本題以函數為載體，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，關鍵是換元轉化．