Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，設直線l切圓O于點P，AB為圓O的任意一條不與l垂直的直徑，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D．求證：PC=PD，且AP平分∠CAB．

Answer 1

分析：連結OP，可得OP⊥l，結合題意AC⊥l且BD⊥l，得OP∥AC∥BD，再由平行線的性質結合OA=OB證出PC=PD．△OPA中根據OA=OP得∠OAP=∠APO，由AC∥OP得∠PAC=∠APO，可得∠PAC=∠OAP，即AP平分∠CAB．

解答：證明：連結OP，
∵直線l與圓O相切于P點，
∴OP⊥l
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴OP∥AC∥BD，
∵OA=OB，∴PC=PD，
∵OA=OP，∴∠OAP=∠APO
∵AC∥OP，得∠PAC=∠APO，
∴∠PAC=∠OAP，即AP平分∠CAB．

點評：本題給出過直徑的兩端作圓的切線的垂線，求證切點到兩個垂足的距離相等，并且證明角相等．著重考查了圓的切線的性質定理、平行線的性質和等腰三角形的性質等知識，屬于中檔題．