Question

已知a，b，c滿足：a、b、c∈R⁺，a²+b²=c²，當n∈N，n＞2時，比較cⁿ與aⁿ+bⁿ的大小．

Answer 1

分析：依題意，a²＜c²，b²＜c²，

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），利用指數函數的單調性即可比較n＞2時，cⁿ與aⁿ+bⁿ的大小．

解答：解：∵a、b、c∈R⁺，a²+b²=c²，
∴(

a

c

)2+(

b

c

)2=1．
∴

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），
∵y=(

a

c

)x與y=(

b

c

)x均為減函數，
∴當n＞2時，(

a

c

)n＜(

a

c

)2，(

b

c

)n＜(

b

c

)2；
∴當n＞2時，(

a

c

)n+(

b

c

)n＜(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，
即當n＞2時，aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

點評：本題考查不等式比較大小，突出考查指數函數的單調性，考查轉化思想與推理分析的能力，屬于難題．