Question

定義在R上的奇函數f（x）滿足：f（-1）=-2，當x＞0時f′（x）＞2，則不等式f（x）＞2x的解集為（　　）

A．（-1，0）∪（1，+∞）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（-1，+∞）

D．（1，+∞）

Answer 1

分析：先構造函數F（x）=f（x）-2x，然后利用導數的符號，判斷函數F（x）的單調性，同時結合奇偶性，利用圖象可求解．

解答：解：構造函數F（x）=f（x）-2x，則當x＞0時，F′（x）=f′（x）-2，因為f′（x）＞2，
所以F′（x）=f′（x）-2＞0，即函數F（x）在（0，+∞）上單調遞增．
因為f（x）為奇函數，所以函數F（x）=f（x）-2x也為奇函數．
所以F（-1）=f（-1）-2（-1）=-2+2=0，且F（1）=0，
所以當x＞1或-1＜x＜0時，F（x）＞0，即此時f（x）＞2x，
所以不等式f（x）＞2x的解集為（-1，0）∪（1，+∞），
故選A．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性．構造函數F（x）=f（x）-2x是解決此類問題的關鍵．