Question

平面直角坐標系xoy中，動點滿足：點P到定點與到y軸的距離之差為．記動點P的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的軌跡方程；

（2）過點F的直線交曲線C于A、B兩點，過點A和原點O的直線交直線于點D，求證：直線DB平行于x軸．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求動點軌跡方程，首先設動點坐標，本題已設，其次列動點滿足條件，然后利用坐標化簡關系式，即，，最后要考慮動點滿足限制條件，本題為已知條件，另外本題對條件的化簡也可從拋物線的定義上理解，這樣更快，（2）證明直線平行于軸，可利用斜率為零，或證明縱坐標相等，總之都需要從坐標出發.注意到點在拋物線上，設點的坐標可簡潔，設的坐標為 ，利用三點共線解出點的縱坐標為，根據直線與直線的交點解出的縱坐標也為.

試題解析：（1）依題意： 2分

4分

6分

注：或直接用定義求解.

（2）法1：設，直線的方程為

由 得 8分

直線的方程為 點的坐標為 2分

直線平行于軸. 14分

法2：設的坐標為，則的方程為

點的縱坐標為， 8分

直線的方程為

點的縱坐標為. 12分

軸；當時，結論也成立，

直線平行于軸. 14分

考點：軌跡方程，直線與拋物線位置關系