Question

設函數f（x）=ax³+bx²+cx+2的導函數為f′（x），若f′（x）為奇函數，則有（　　）

A．a≠0，c=0

B．b=0

C．a=0，c≠0

D．a²+c²=0

Answer 1

分析：先求導數f′（x），由f′（x）為奇函數可知f'（x）=-f'（-x），故3ax²+c恒成立恒成立，所以a=c=0，由此得出答案．

解答：解：函數f（x）=ax³+bx²+cx+2的導函數為f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函數f′（x）=3ax²+2bx+c是定義在R上的奇函數，
∴f'（x）=-f'（-x），即3ax²+2bx+c=-3ax²+2bx-c，
∴3ax²+c恒成立，a=c=0．即a²+c²=0．
故選D．

點評：本題考查導數的運算、函數奇偶性的判斷、函數的解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．