Question

如圖，在三棱錐D-ABC中，△ADC，△ACB均為等腰直角三角形AD=CD=

2

，∠ADC=∠ACB=90°，M為線段AB的中點，側面ADC⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求異面直線BD與CM所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角A-CD-M的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明BC⊥平面ACD．我們根據可以根據已知中側面ADC⊥底面ABC．結合平面與平面垂直的性質定理進行證明，即只要說明AC⊥BC即可，由（1）的結論，取AC的中點為O，連接DO，OM．建立空間直角坐標系O-xyz，然后利用空間向量法，進行求解．
（Ⅱ）要求異面直線BD與CM所成角的余弦值，我們只要求

BD

與

CM

夾角余弦值的絕對值即可．
（Ⅲ）要求銳二面角A-CD-M的余弦值，我們只要求出平面ACD的法向量與平面MCD的法向量夾角余弦值的絕對值即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為AC⊥BC，平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
所以BC⊥平面ACD．
（Ⅱ）取AC的中點為O，連接DO，OM．
建立空間直角坐標系O-xyz如圖所示．
則A（1，0，0），C（-1，0，0），D（0，0，1），
B（-1，2，0），M（0，1，0）．

BD

=(1，-2，1)，

CM

=(1，1，0)，
cos＜

BD

，

CM

＞=

BD • CM

| BD || CM |

=

1-2+0

6 • 2

=-

3

6

所以異面直線BD與CM所成角的余弦值為

3

6

.
（Ⅲ）平面ACD的法向量為

n

1=(0，1，0)，
設平面MCD的法向量為

n

2=(x，y，z)，

CD

=(1，0，1)，

CM

=(1，1，0)
由

CD • n 2=0 CM • n 2=0

，得

x+z=0 x+y=0

，取x=-1，得y=z=1，
所以

n

2=(-1，1，1).
cos＜

n

1，

n

2＞=

n 1• n 2

| n 1|| n 2|

=

1

3

=

3

3

所以，二面角A-CD-M的余弦值為

3

3

.

點評：空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；
空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；
空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；