Question

如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M為A1B與AB1的交點，N為棱B1C1的中點．

(1)求證：MN∥平面AA1C1C；

(2)若AC＝AA1，求證：MN⊥平面A1BC.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】證明：(1)連結AC1，因為M為A1B與AB1的交點，所以M是AB1的中點．又N為棱B1C1的中點，所以MN∥AC1.又AC1平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.

(2)由AC＝AA1，則四邊形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C.因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因為BC平面ABC，所以CC1⊥BC.因為∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因為CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1.又AC1平面AA1C1C，MN∥AC1，所以MN⊥A1C，MN⊥BC.又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.