Question

已知函數{an}滿足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…（其中t為常數且t≠0）．
（I）求證：數列{

1

an-t

}為等差數列；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）設bn=n•2nan，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，我們易變形為t²-ta_n-1=ta_n-1-a_n-1a_n，進而得到

1

an- t

-

1

an-1-t

=

1

t

（為常數），由此得出結論．
（2）由（1）中結論，我們結合等差數列的通項公式，及已知中a₁=2t，得到數列{a_n}的通項公式．
（3）先求出 bn=n•2ⁿa_n=（n+1）t2ⁿ，再利用錯位相減法進行數列求和，從而求得結果．

解答：解：（I） 證明：（1）∵t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，∴（t²-ta_n-1）-（ta_n-1-a_n-1a_n）=0，即 t（t-a_n-1）=a_n-1（t-a_n）．
∵t-a_n-1≠0，∴

1

an- t

=

an-1

t(an-1-t)

，即

1

an- t

=

an-1-t+t

t(an-1-t)

=

1

t

+

t

t(an-1-t)

，
∴

1

an- t

-

1

an-1-t

=

1

t

 （為常數），∴數列{

1

an-t

}為等差數列．
（II）由上可得數列{

1

an-t

}為等差數列．公差為

1

t

，∴

1

an- t

=

1

a1- t

+（n-1）

1

t

=

n

t

．
∴a_n =

t

n

+t．
（3）∵bn=n•2ⁿa_n=（n+1）t2ⁿ，
∴s_n=t[2×2¹+3×2²+…+（n+1）2ⁿ]①．
∴2s_n=t[2×2²+3×2³+…+n 2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹]②．
①-②可得-s_n=t[[2×2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）2ⁿ⁺¹]=[2+（ 2ⁿ⁺¹-2）-（n+1）2ⁿ⁺¹]=-n 2ⁿ⁺¹，
∴s_n=n 2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查的知識點是等差數列關系的確定，數列的求和，其中（1）的關鍵是根據等差數列的定義，判斷出

1

an- t

-

1

an-1-t

=

1

t

（為常數），（2）的關鍵是熟練掌握等差數列的通項公式，（3）的關鍵是根據數列{b_n}的通項公式確定使用錯位相減法進行數列求和，屬于中檔題．