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已知點M是△ABC的中線AD上的一點，直線BM交邊AC于點N，且AB是△NBC的外接圓的切線，設
BC
BN
=λ，試求
BM
MN
（用λ表示）．
分析：過點N作NE∥AD，交CD于點E．利用平行線的性質證出
AN
AC
=
DE
DC
且
BM
MN
=
BD
DE
，兩式相乘并結合BD=BC化簡，證出
AC
AN
=
BM
MN
．由弦切角定理和相似三角形的判定證出△ABN∽△ACB，得到對應邊成比例，從而根據比例的性質證出
AC
AN
=(
BC
BN
)2，再結合題意
BC
BN
=λ，可得
BM
MN
=
AC
AN
=(
BC
BN
)2．
解答：證明：過點N作NE∥AD，交CD于點E，可得精英家教網
∵△ACD中，NE∥AD，∴
AN
AC
=
DE
DC

同理可得
BM
MN
=
BD
DE
，
∴
AN
AC
•
BM
MN
=
BD
DE
•
DE
DC
=
BD
DC
．
因為BD=BC，所以
AN
AC
•
BM
MN
=1，可得
AC
AN
=
BM
MN
．
∵AB是△NBC的外接圓的切線，
∴∠ABN=∠C，可得△ABN∽△ACB，則
AB
AN
=
AC
AB
=
BC
BN
．
∴
AB
AN
•
AC
AB
=(
BC
BN
)2，即 
AC
AN
=(
BC
BN
)2．
∵
AC
AN
=
BM
MN
，
∴
BM
MN
=(
BC
BN
)2，結合已知
BC
BN
=λ，可得
BM
MN
=λ2．
點評：本題考查了平行線的性質、相似三角形的判定與性質、弦切角定理和比例的性質及其應用等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知下列命題：其中正確命題的序號是
 
（把你認為正確命題的序號都填上）
A．
AB
=（-3，4），則
AB
按向量
a
=（-2，1）平移后的坐標仍是（-3，4）；
B．已知點M是△ABC的重心，則
MA
+
MB
+
MC
=0；
C．函數y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱．
D．已知函數y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）為偶函數，其圖象與直線y=2的交點的橫坐標為x1，x2若|x1-x2|的最小值為π，則ω的值為2，θ的值為
π
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點M是△ABC的重心，則
MA
+
MB
+
MC
=
0
0
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知下列命題：①=0；②若向量=(-3,4),則按向量a=(-2,1)平移后的坐標仍是（－3，4）；③“向量b與向量a的方向相反”是“b與a互為相反向量”的充分不必要條件；④已知點M是△ABC的重心，則=0.其中正確命題的序號是________（把你認為正確命題的序號都填上）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知下列命題： ①；②若向量按向量平移后的坐標仍是（－3，4）；③“向量的方向相反”是“互為相反向量”的充分不必要條件；④已知點M是△ABC的重心，則。

其中正確命題的序號是__________.

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