Question

已知兩圓相交于點A（1，3），B（m，-1），兩圓的圓心均在直線x-y+c=0上．
（1）求弦AB所在直線的方程；
（2）若其中一個圓的圓心在y軸上，求該圓的方程．

Answer 1

解：（1）由于AB的中點C在x-y+c=0上，得m=-2c+1①
又由直線AB與直線x-y+c=0垂直，得m-1=4②
聯立①②解得m=5，c=-2，∴弦AB所在直線的方程為x+y-4=0．
（2）由（1）知，兩圓的圓心均在直線x-y-2=0上，又由題設知，
所求圓的圓心E（0，-2）半徑r²=|EA|²=26，
故所求的圓的方程為x²+（y+2）²=26．
分析：（1）求出AB的中點，中點在直線x-y+c=0上，得到一個方程，利用兩條直線垂直，得到另一個方程，即可求出m，c，可得弦AB所在直線的方程；
（2）由（1）知，兩圓的圓心均在直線x-y-2=0上，又由題設知，所求圓的圓心E（0，-2），求出半徑，即可得到圓的方程．
點評：本題是基礎題，考查兩條直線的位置關系，圓的方程的求法，本題的關鍵在于中點在直線上，垂直關系的應用，確定圓心和半徑，即可解決問題．