Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，∠BAC的平分線與BC和外接圓分別相交于D和E，延長AC交過D、E、C三點的圓于點F．
（Ⅰ）求證：EF²=ED•EA；
（Ⅱ）若AE=6，EF=3，求AF•AC的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接CE，DF，證明△AEF∽△FED，即可得到結論；
（Ⅱ）利用相交弦定理，可求AF•AC的值．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，連接CE，DF．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC…（2分）
在圓內又知∠DCE=∠EFD，∠BCE=∠BAE．∴∠EAF=∠EFD
又∠AEF=∠FED，∴△AEF∽△FED，∴，
∴EF²=ED•EA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EF²=ED•EA
∵EF=3，AE=6，∴ED=，AD=…（8分）
∴AC•AF=AD•AE==27…（10分）
點評：本題考查三角形的相似，考查相交弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．