Question

若不等式x²-|a|x+a-1＞0對于一切x∈（1，2）恒成立，則實數a的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，對a分三種情況討論，每種情況先將不等式x²-|a|x+a-1＞0變形整理，分析該不等式在（1，2）恒成立的條件，綜合可得a的取值范圍，進而可得a的最大值，即可得答案．
解答：解：①a＞0時，不等式x²-|a|x+a-1＞0⇒x²-ax+a-1＞0⇒（x-1）[x-（a-1）]＞0，
不等式x²-|a|x+a-1＞0對于一切x∈（1，2）恒成立，
即（x-1）[x-（a-1）]＞0在（1，2）上恒成立，
必有a-1≤1，即a≤2，
則當0＜a≤2時，不等式x²-|a|x+a-1＞0對于一切x∈（1，2）恒成立，
②a=0時，不等式x²-|a|x+a-1＞0⇒x²-1＞0，
x∈（1，2）時，x²-1＞0成立，
即a=0時不等式x²-|a|x+a-1＞0對于一切x∈（1，2）恒成立，
③a＜0時，不等式x²-|a|x+a-1＞0⇒x²+ax+a-1＞0⇒（x-1）[x-（-a-1）]＞0，
又由a＜0，則-a-1＜-1＜1，
x∈（1，2）時，（x-1）[x-（-a-1）]＞0恒成立，
則不等式x²-|a|x+a-1＞0對于一切x∈（1，2）恒成立，
綜合可得a的取值范圍是a≤2，
則實數a的最大值為2；
故答案為a=2．
點評：此題考查絕對值不等式的放縮問題及函數的恒成立問題，這類題目是高考的熱點，難度不是很大，要注意不等號進行放縮的方向．