Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝5，D，E分別為BC，BB₁的中點，四邊形B₁BCC₁是邊長為6的正方形.

(1)求證：A₁B∥平面AC₁D；

(2)求證：CE⊥平面AC₁D；

(3)求二面角C－AC₁－D的余弦值.

Answer 1

(1)連接A₁C，與AC₁交于O點，連接OD.

因為O，D分別為A₁C和BC的中點，

所以O(shè)D∥A₁B.

又OD⊂平面AC₁D，

A₁B平面AC₁D，

所以A₁B∥平面AC₁D.

(2)在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

BB₁⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，

所以BB₁⊥AD.

因為AB＝AC，D為BC的中點，

所以AD⊥BC.又BC∩BB₁＝B，

所以AD⊥平面B₁BCC₁.

又CE⊂平面B₁BCC₁，

所以AD⊥CE.

因為四邊形B₁BCC₁為正方形，D，E分別為BC，BB₁的中點，

所以Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D＝∠BCE.

所以∠BCE＋∠C₁DC＝90°.

所以C₁D⊥CE.

又AD∩C₁D＝D，

所以CE⊥平面AC₁D.

(3)如圖，以B₁C₁的中點G為原點，建立空間直角坐標系.

則A(0,6,4)，E(3,3,0)，C(－3,6,0)，C₁(－3,0,0).

由(2)知CE⊥平面AC₁D，

所以＝(6，－3,0)為平面AC₁D的一個法向量.

設(shè)n＝(x，y，z)為平面ACC₁的一個法向量，

＝(－3,0，－4)，＝(0，－6,0).

由可得

令x＝1，則y＝0，z＝－.

所以n＝(1,0，－).

從而cos〈，n〉＝＝.

因為二面角C－AC₁－D為銳角，

所以二面角C－AC₁－D的余弦值為.