Question

平面直角坐標系中，已知直線l：x=4，定點F（1，0），動點P（x，y）到直線l的距離是到定點F的距離的2倍．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若M為軌跡C上的點，以M為圓心，MF長為半徑作圓M，若過點E（-1，0）可作圓M的兩條切線EA，EB（A，B為切點），求四邊形EAMB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設點P到l的距離為d，依題意得，由此能得到軌跡C的方程．
（2）設M（x，y），圓M：（x-x）²+（y-y）²=r²，由兩切線存在可知，點E在圓M外，所以x＞0，又M（x，y）為軌跡C上的點，所以0＜x≤2．由，知1≤r＜2．由E（-1，0）為橢圓的左焦點，根據橢圓定義知，|ME|+|MF|=4，所以在直角三角形MEB中，，，由圓的性質知，四邊形EAMB面積，由此能求出四邊形EAMB面積的最大值．
解答：解：（1）設點P到l的距離為d，依題意得d=2|PF|，
即，…（2分）
整理得，軌跡C的方程為．         …（5分）
（2）設M（x，y），圓M：（x-x）²+（y-y）²=r²，其中
由兩切線存在可知，點E在圓M外，
所以，，即x＞0，
又M（x，y）為軌跡C上的點，所以0＜x≤2．
而，所以，1≤|MF|＜2，即1≤r＜2． …（8分）
由（1）知，E（-1，0）為橢圓的左焦點，
根據橢圓定義知，|ME|+|MF|=4，
所以|ME|=4-r，而|MB|=|MF|=r，
所以，在直角三角形MEB中，，，
由圓的性質知，四邊形EAMB面積，其中1≤r＜2．…（12分）
即（1≤r＜2）．
令y=-2r³+4r²（1≤r＜2），則y'=-6r²+8r=-2r（3r-4），
當時，y'＞0，y=-2r³+4r²單調遞增；
當時，y'＜0，y=-2r³+4r²單調遞減．
所以，在時，y取極大值，也是最大值，
此時S_max=2=．            …（16分）
點評：本題考查點的軌跡方程的求法和求四邊形面積的最大值，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行待價轉化．