Question

（1）已知函數，其中為有理數，且. 求的最小值；
（2）試用（1）的結果證明如下命題：設，為正有理數. 若，則；
（3）請將（2）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題.
注：當為正有理數時，有求導公式.

Answer 1

（1）函數在處取得最小值.
（2）見解析
（3）（2）中命題的推廣形式為：設為非負實數，為正有理數. 若，則
證明見解析

本題主要考察利用導數求函數的最值，并結合推理，考察數學歸納法，對考生的歸納推理能力有較高要求。
（1），令，解得.
當時，，所以在內是減函數；
當  時，，所以在內是增函數.
故函數在處取得最小值.
（2）由（1）知，當時，有，即   ①
若，中有一個為0，則成立；
若，均不為0，又，可得，于是
在①中令，，可得，
即，亦即.
綜上，對，，為正有理數且，總有.   ②
（3）（2）中命題的推廣形式為：
設為非負實數，為正有理數.
若，則.            ③
用數學歸納法證明如下：
（1）當時，，有，③成立.
（2）假設當時，③成立，即若為非負實數，為正有理數，
且，則.
當時，已知為非負實數，為正有理數，
且，此時，即，于是
=.
因，由歸納假設可得
，
從而.
又因，由②得

，
從而.
故當時，③成立.
由（1）（2）可知，對一切正整數，所推廣的命題成立.
說明：（3）中如果推廣形式中指出③式對成立，則后續證明中不需討論的情況.