Question

已知函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（其中a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函數f（x）-g（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）-g（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由使f（x）的解析式x+1＞0，且1-x＞0，由此求得x的范圍，即可得到函數f（x）的定義域．對于函數g（x），由解析式可得 

x+1＞0 1-x＞0

，由此求得它的定義域．
（II）設F（x）=f（x）-g（x），對于函數y=F（x），由于它的定義域關于原點對稱，且F（-x）=-F（x），可得函數F（x）為奇函數．

解答：解：（Ⅰ）若要f（x）-g（x）有意義，則

x+1＞0 1-x＞0

，即-1＜x＜1．（4分）
所以所求定義域為{x|-1＜x＜1}（5分）
（Ⅱ）f（x）-g（x）為奇函數．證明如下：
設F(x)=f(x)-g(x)=loga

1+x

1-x

，（7分）
由（1）知F（x）的定義域關于原點對稱
且F(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-F(x)．（10分）
所以f（x）-g（x）是奇函數                                 （12分）

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質的綜合應用，判斷函數的奇偶性的方法，屬于中檔題．