Question

某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績（均為整數）的頻率分布直方圖如圖所示．
（I）估計這次測試數學成績的平均分；
（II）假設在[90，100]段的學生的數學成績都不相同，且都超過94分．若將頻率視為概率，現用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數中任意抽取2個數，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學生的數學成績的次數為ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用分組兩端的數據中值估算抽樣學生的平均分，類似于加權平均數的算法，讓每一段的中值乘以這一段對應的頻率，得到平均數，利用樣本的平均數來估計總體的平均數．
（II）根據等可能事件的概率公式得到兩個數恰好是兩個學生的數學成績的概率，隨機變量ξ的可能取值為0、1、2、3，且變量符合二項分布，根據符合二項分布寫出分布列和期望，也可以用一般求期望的方法來解．
解答：解：（I）利用中值估算抽樣學生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．
∴估計這次考試的平均分是72分．
（II）從95，96，97，98，99，100中抽2個數的全部可能的基本結果數是C₆²=15，
有15種結果，學生的成績在[90，100]段的人數是0.005×10×80=4（人），
這兩個數恰好是兩個學生的數學成績的基本結果數是C₄²=6，
兩個數恰好是兩個學生的數學成績的概率
隨機變量ξ的可能取值為0、1、2、3，且變量符合二項分布，
∴
∴變量ξ的分布列為：

∴
（或Eξ=）
點評：本題考查讀頻率分步直方圖，考查用樣本估計總體，考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查二項分布，是一個綜合題．