Question

（2009•武昌區模擬）已知函數f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[-3，-2）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在正實數a，使得f（x）的導函數f′（x）有最大值1-2

2

？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數的定義域，求出函數的導數，利用導數在[-3，-2）恒為正，通過二次函數的最值求出實數a的取值范圍；
（Ⅱ）假設存在正實數a，使得f（x）的導函數f′（x）有最大值1-2

2

，直接求出a的值．
另解：假設存在正實數a，使得f′(x)max=1-2

2

成立．設g(x)=f′(x)=2ax-

2

1-x

，求出g′(x)=2a-

2

(1-x)2

＞0，解得x＜1-

1

a

或x＞1+

1

a

．通過x∈（-∞，1），g（x）在(-∞，1-

1

a

)上單調遞增，在上單調遞減．得到2a-4

a

=1-2

2

，解得a=

1

2

或a=

9

2

-2

2

．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域為（-∞，1）
f′(x)=2ax-

2

1-x

．（2分）
由題意得f′(x)=2ax-

2

1-x

≥0對一切x∈[-3，-2）恒成立，
∴a≤

1

-x2+x

=

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

．（5分）
當x∈[-3，-2）時，-(x-

1

2

)2+

1

4

＜-6，
∴

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

＞-

1

6

．故a≤-

1

6

．（7分）
（Ⅱ）假設存在正實數a，使得f′(x)max=1-2

2

成立.f′(x)=2ax-

2

1-x

=2a-[2a(1-x)+

2

1-x

]≤2a-2

4a

．（9分）
由2a(1-x)=

2

1-x

，得(1-x)2=

1

a

，
∴x=1±

1

a

．由于x=1+

1

a

＞1，故應舍去．
當x=1-

1

a

時，f′(x)max=2a-2

4a

．（11分）
令2a-2

4a

=1-2

2

，解得a=

1

2

或a=

9

2

-2

2

．（13分）
另解：假設存在正實數a，使得f′(x)max=1-2

2

成立．
設g(x)=f′(x)=2ax-

2

1-x

，則g′(x)=2a-

2

(1-x)2

．（9分）
由g′(x)=2a-

2

(1-x)2

＞0，解得x＜1-

1

a

或x＞1+

1

a

．
因為x∈（-∞，1），
∴g（x）在(-∞，1-

1

a

)上單調遞增，在上單調遞減．
∴f′(x)max=g(1-

1

a

)=2a-4

a

．（11分）
令2a-4

a

=1-2

2

，解得a=

1

2

或a=

9

2

-2

2

．（14分）

點評：本題只要考查求函數的導數以及函數的最值問題，體現轉化的數學思想，特別注意新變量的取值范圍，同時也考查了二次函數在定區間上的最值問題，恒成立問題，屬中檔題．