Question

已知n次多項(xiàng)式S_n（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2ⁿx），其中n是正整數(shù)．記S_n（x）的展開(kāi)式中x的系數(shù)是a_n，x²的系數(shù)是b_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）證明：b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²；
（Ⅲ）是否存在等比數(shù)列{c_n}和正數(shù)c，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）對(duì)任意正整數(shù)n成立？若存在，求出通項(xiàng)c_n和正數(shù)c；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）展開(kāi)式中x的系數(shù)可看成：第一個(gè)括號(hào)取2x，其余均取1，第二個(gè)括號(hào)取4x，其余均取1，…，第n個(gè)括號(hào)取2ⁿx，其余均取1，則a_n=2+4+…+2ⁿ；
（Ⅱ）由題意可得 ．從而，借助（Ⅰ）可得結(jié)論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）利用累加法求得b_n，根據(jù)條件形式可得結(jié)論；
解答：（Ⅰ）解：由題意得，，即 ．
（Ⅱ）證明：由，
得 ．
所以 ，即 ．
（Ⅲ）解：由S₁（x）=1+2x，得b₁=0．
當(dāng)n≥2時(shí)，
由 ，
得 ．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=0也適合上式，故，n∈N^*．
因此，存在正數(shù)和等比數(shù)列，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）對(duì)于任意
正整數(shù)n成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列求和，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．