Question

1．如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=$\frac{π}{6}$，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且二面角B-AO-C是直二面角，動點D在斜邊AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）當V_A-DOC：V_A-BOC=1：2時，求CD與平面AOB所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，從而CO⊥BO，進而CO⊥平面AOB，由此能證明平面COD⊥平面AOB．
（Ⅱ）當V_A-DOC：V_A-BOC=1：2時，D為AB中點，以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出CD與平面AOB所成角．

解答 證明：（Ⅰ）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．
解：（Ⅱ）當V_A-DOC：V_A-BOC=1：2時，D為AB中點，
以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，如圖，
則B（0，2，0），A（0，0，2$\sqrt{3}$），C（2，0，0），D（0，1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{CD}$=（-2，1，$\sqrt{3}$），
平面AOB的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設CD與平面AOB所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴θ=45°．
∴CD與平面AOB所成角為45°．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．