Question

為迎接國慶60周年，美化城市，某市將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，如圖所示．要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，|AB|=3米，|AD|=2米．
（1）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）若AN的長度不小于6米，則當AM、AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求出最小面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)AN的長為x米，則矩形AMPN的面積S_AMPN可表示為x的函數(shù)，令S_AMPN＞32即可求得x的范圍．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)即可求得當x≥6時函數(shù)的最小值及相應(yīng)的x值．

解答：解：設(shè)AN的長為x米（x＞2）
∵

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

，∴|AM|=

3x

x-2

∴SAMPN=|AN|•|AM|=

3x2

x-2

（I）由S_AMPN＞32得

3x2

x-2

＞32，
∵x＞2，∴3x²-32x+64＞0，即（3x-8）（x-8）＞0
∴2＜x＜

8

3

或x＞8．
答：要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN長的取值范圍是(2，

8

3

)∪(8，+∞)．
（Ⅱ）令y=

3x2

x-2

，則y′=

6x(x-2)-3x2

(x-2)2

=

3x(x-4)

(x-2)2

，
當x＞4時，y′＞0，∴函數(shù)y=

3x2

x-2

在（4，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)y=

3x2

x-2

在[6，+∞)上也單調(diào)遞增．
∴當x=6時，y=

3x2

x-2

取得最小值27，即S_AMPN取得最小值27（平方米）．
此時|AN|=6米，|AM|=4.5米
答：當AM、AN的長度分別是4.5米，6米時，矩形AMPN的面積最小，最小面積是27平方米．

點評：本題考查了根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及求最值問題．實際問題要注意答．