Question

（1）已知：對?x∈R，關于x的不等式：mx²+mx+1＞0恒成立，求實數m的取值范圍．
（2）命題p：?x₀∈R，sinx-

3

cosx＞m，q：?x∈R，m²+mx+1＞0，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，m=0，或

m＞0 △=m2-4m＜0

，由此求得實數m的取值范圍．
（2）由題意可得，命題p和命題q一個為真命題，另一個為假命題．先求得當p真q假時，實數m的取值范圍，以及當p假q真時，實數m的取值范圍，再把這兩個范圍取并集，即得所求．

解答：（1）解：∵對?x∈R，關于x的不等式：mx²+mx+1＞0恒成立，∴m=0，或

m＞0 △=m2-4m＜0

．
解得 m=0，或0＜m＜4，故實數m的取值范圍為[0，4）．
（2）由題意可得，命題p和命題q一個為真命題，另一個為假命題．
若p是真命題，則?x₀∈R，sin（x-

π

3

）＞

m

2

 成立，
∴

m

2

＜1，即 m＜2，故實數m的取值范圍為（-∞，2）．
若命題q是真命題，則有m=0，或

m＞0 △=m2-4m＜0

．解得 m=0，或0＜m＜4，故實數m的取值范圍為[0，4）．
當p真q假時，實數m的取值范圍為（-∞，0]，當p假q真時，實數m的取值范圍為[2，4）．
綜上，所求的實數m的取值范圍為（-∞，0]∪[2，4）．

點評：本題主要考查復合命題的真假，一元二次不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．