Question

一個正四棱錐一個側面面積與一個對角面面積相等，則側面與底面所成二面角為（　　）

• A．30°
• B．45°
• C．60°
• D．arccos

  1

  3

Answer 1

分析：設正四棱錐S-ABCD的底面邊長為a，高為h，用a，h表示出對角面的面積、側面面積，作出側面與底面所成銳二面角的平面角，求解即可．

解答：解：設正四棱錐V-ABCD的底面邊長為a，高為VO=h，斜高為VE，
如圖，∠VEO為側面與底面所成銳二面角的平面角．
對角面面積S_△VAC=

1

2

×AC×VO=

1

2

×

2

a×h=

2

2

ah
側面面積S_△VBC=

1

2

BC×VE=

1

2

×a×

h2+ a2 4

，
∵對角面的面積與側面面積相等，
∴

2

2

ah=

1

2

a•

h2+ a2 4

，
化簡整理得h=

1

2

a，
tan∠VEO=

h

a 2

=1，
∴∠VEO=45°，
故選B．

點評：本題考查正四棱錐的定義、性質，空間角的求解，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．