Question

已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù)．

（1）若函數(shù)g（x）在x=1處有極值，求g（x）的解析式；

（2）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上為增函數(shù)，且b²﹣mb+4≥g（x）在x∈[﹣1，1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)恒成立問(wèn)題；直線的斜率．

專題：

計(jì)算題．

分析：

（1）先求出斜率為3的切線方程，根據(jù)兩條切線間的距離求出a值，再討論滿足g′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值，求出b即可．

（2）欲使函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上為增函數(shù)只需轉(zhuǎn)化成g′（x）≥0在區(qū)間[﹣1，1]上恒成立，求出b的范圍，根據(jù)g（x）在x∈[﹣1，1]是增函數(shù)知g（x）的最大值為g（1），只需使b²﹣mb+4≥g（1）恒成立即可．

解答：

解：（1）∵，

∴由=3得x=±a，

即切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），（﹣a，﹣a）

∴切線方程為y﹣a=3（x﹣a），或y+a=3（x+a）（2分）

整理得3x﹣y﹣2a=0或3x﹣y+2a=0

∴，

解得a=±1，

∴f（x）=x³．

∴g（x）=x³﹣3bx+3（4分）

∵g′（x）=3x²﹣3b，g（x）在x=1處有極值，

∴g′（1）=0，

即3×1²﹣3b=0，解得b=1

∴g（x）=x³﹣3x+3（6分）

（2）∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上為增函數(shù)，

∴g′（x）=3x²﹣3b≥0在區(qū)間[﹣1，1]上恒成立，

∴b≤0，

又∵b²﹣mb+4≥g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上恒成立，

∴b²﹣mb+4≥g（1）（8分）

即b²﹣mb+4≥4﹣3b，若b=0，則不等式顯然成立，若b≠0，

則m≥b+3在b∈（﹣∞，0）上恒成立

∴m≥3．

故m的取值范圍是[3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題和利用待定系數(shù)法求解析式，屬于基礎(chǔ)題．