Question

某學校為提升數字化信息水平，在校園之間架設了7條網線，這7條網線其中有兩條能通過一個信息量，有三條能通過兩個信息量，有兩條能通過三個信息量．現從中任選三條網線，設可通過的信息量為X，當可通過的信息量不小于6時，則可保證校園內的信息通暢．
（1）求線路信息通暢的概率；
（2）求線路可通過的信息量X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知通過的信息量X≥6，則可保證信息通暢．線路信息通暢包括三種情況，即通過的信息量分別為8，7，6，這三種情況是互斥的，根據互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到結果；
（2）線路可通過的信息量X，X的所有可能取值為4，5，6，7，8，結合變量對應的事件和等可能事件的概率及互斥事件的概率，得到變量的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）∵通過的信息量X≥6，則可保證信息通暢．
∴線路信息通暢包括三種情況，即通過的信息量分別為8，7，6，
這三種情況是互斥的，根據互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到
P(X=8)=

C 2 2 C 1 3

C 3 7

=

3

35

，
P(X=7)=

C 2 3 C 1 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 7

=

8

35

，
P(X=6)=

C 1 2 C 1 3 C 1 2 + C 3 3

C 3 7

=

13

35

，
∴線路信息通暢的概率為P=

3

35

+

8

35

+

13

35

=

24

35

．
（2）線路可通過的信息量X，X的所有可能取值為4，5，6，7，8．
P(X=5)=

C 2 2 C 1 2 + C 2 3 C 1 2

C 3 7

=

8

35

，
P(X=4)=

C 2 2 C 1 3

C 3 7

=

3

35

．
∴X的分布列為

X	4	5	6	7	8
P	3 35	8 35	13 35	8 35	3 35

∴EX=4×

3

35

+5×

8

35

+6×

13

35

+7×

8

35

+8×

3

35

=6．

點評：本題主要考查了相互獨立事件、互斥事件、隨機變量的分布列、數學期望等概率計算，考查運用概率解決實際問題的能力，屬于中檔題．