Question

如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在平面互相垂直，兩個正方形邊長均為2，M、N分別是AC和BF上的點，且AM=FN=x．

（1）求證：MN∥平面BCE;

（2）設MN=y,求函數y=f(x);

（3）當MN最短時,求MN與AC、MN與FB所成的角.

Answer 1

思路解析：本題已知了面面垂直關系,容易想到利用面面垂直的性質,從而構造得到線面垂直關系.第一問要證明線面平行,緊緊圍繞著線面平行的判定定理,去尋求相關的線線平行,充分利用正方形的性質,從而得到線線平行;第二問,在第一問的基礎上,在相關的三角形中將MN表示出來,進而將第三個問題解決.

解：（1）作MP⊥AB于P，則有MP⊥平面ABFE.

連結PN，又BC⊥平面ABCD，

∴MP∥BC.∴.

又AM=FN,AC=FB,

∴.∴PN∥AF∥BE.

故平面MPN∥平面BCE.MN平面MPN,∴MN∥平面BCE．

（2）∵AM=x，MP=AP=x，

又PN=PB=，

從而由MP⊥平面ABFE知MP⊥PN,MN=.

∴y=（0

（3）由（2）得y=.當x=1時,MN有最小值為1,此時M、N分別為兩個正方形的中心,∴.

∴MN∥EC.

∴MN與AC所成的角是∠ACE（或其補角）.

易知△ACE為正三角形,故MN與AC所成的角是60°.

同理，MN與FB所成的角是60°.