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已知實數(shù)a1，a2，a3不全為零，
（i）則
a1a2+2a2a3
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
的最大值為
 
；
（ii）設正數(shù)x，y滿足x+y=2，令
xa1a2+ya2a3
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
的最大值為M，則M的最小值為
 
．
分析：觀察分式的分子和分母的代數(shù)式的不同，進行拆分a22項，構(gòu)造均值不等式求最值．
解答：解：由題意知：
（1）
a1a2+2a2a3
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
=
a1a2+2a2a3
 
a
2
1
+
1
5
a
2
2
 +
4
5
a
2
2
+
a
2
3

≤
a1a2+2a2a3
2
a
2
1
a
2
2
5
+2
4
a
2
2
a
2
3
5
 
=
a1a2+2a2a3
2
5
 ( a1a2 +2a2a3)

=
5
2

（2）
xa1a2+ya2a3
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
=
xa1a2+ya2a3
a
2
1
+
x2
x2+y2
a
2
2
+
y2
x2+y2
a
2
2
+
a
2
3

≤
xa1a2+ya2a3
2
xa1a2
x2+y2
 +2
ya2a3
x2+y2
=
x2+y2
2

∴M=
x2+y2
2

即M≥
2
2
(
x+y
2
)=
2
2

∴M的最小值為 
2
2
． 
故（1）
5
2
  （2）
2
2
點評：本題對均值不等式的靈活熟練運用的程度要求比較高，屬中檔偏上題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南通三模）已知實數(shù)a1，a2，a3，a4滿足a1+a2+a3=0，a1a42+a2a4-a2=0，且a1＞a2＞a3，則a4的取值范圍是
(
-1-
5
2
，
-1+
5
2
)
(
-1-
5
2
，
-1+
5
2
)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•眉山二模）設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，我們稱S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn為兩組實數(shù)的亂序和，S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1為反序和，S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn 為順序和．根據(jù)排序原理有：S1≤S≤S2即：反序和≤亂序和≤順序和．給出下列命題：
①數(shù)組（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和為60；
②若A=
x
2
1
+
x
2
2
+…+
x
2
n
，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1，x2，…xn都是正數(shù)，則A≤B；
③設正實數(shù)a1，a2，a3的任一排列為c1，c2，c3則
a1
c1
+
a2
c2
+
a3
c3
的最小值為3；
④已知正實數(shù)x1，x2，…，xn滿足x1+x2+…+xn=P，P為定值，則F=
x
2
1
x2
+
x
2
2
x3
+…+
x
2
n-1
xn
+
x
2
n
x1
的最小值為
P
2
．
其中所有正確命題的序號為
①③
①③
．（把所有正確命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省南通市高三第三次調(diào)研測試數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知實數(shù)a1，a2，a3，a4滿足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，則a4的取值范圍是     ．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省五市高三第三次調(diào)研測試數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知實數(shù)a1，a2，a3，a4滿足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，則a4的取值范圍是     ．

 

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