Question

某漁場養魚，第一年魚的重量的增長率為200%，預計以后每年的增長率都是前一年增長率的一半；
（1）飼養五年后，魚的預計重量是原來的多少倍？
（2）如果由于環境污染，每年損失為預計魚重的10%，那么經過多少年后，魚重開始減少？

Answer 1

分析：（1）由題意知第n年的增長率為2•(

1

2

)n-1=

1

2n-2

，則第n年的魚重為an=(1+ 

1

2n-2

)an-1，求解即可．
（2）設經過n年后，魚重開始減少，由題意知

9 10 an-1(1+ 1 2n-2 ) ≥an-1 an＞an(1+ 1 2n-1 ) • 9 10

，∴18＜2ⁿ≤36，∴n=5．即經過5年后，魚重開始減少．

解答：解：（1）增長率形成首項為2，公比為

1

2

的等比數列，從而第n年的增長率為2•(

1

2

)n-1=

1

2n-2

，
則第n年的魚重為an=(1+ 

1

2n-2

)an-1，∴a₁=3a₀，a₂=6a₀，a₃=9a₀，a4=

5

4

a3=

45

4

a0，a5=

405

32

a0
（2）設經過n年后，魚重開始減少，由于an=an-1(1+

1

2n-2

) (1-10%)=

9

10

an-1(1+

1

2n-1

)，
則

9 10 an-1(1+ 1 2n-2 ) ≥an-1 an＞an(1+ 1 2n-1 ) • 9 10

，∴18＜2ⁿ≤36，∴n=5．
答：經過5年后，魚重開始減少．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．