Question

13、設t≠0，點P（t，0）是函數f（x）=x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線．試用t表示a，b，c．

Answer 1

分析：因為函數f（x），g（x）的圖象都過點（t，0），故先求出其斜率的值，先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，利用斜率相等即可使問題解決．

解答：解：因為函數f（x），g（x）的圖象都過點（t，0），
所以f（t）=0，
即t³+at=0．因為t≠0，所以a=-t²．
g（t）=0，即bt²+c=0，所以c=ab．
又因為f（x），g（x）在點（t，0）處有相同的切線，
所以f′（t）=g′（t）．
而f′（x）=3x²+a，g′（x）=2bx，所以3t²+a=2bt．
將a=-t²代入上式得b=t．因此c=ab=-t³．
故a=-t²，b=t，c=-t³．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．