Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，若在雙曲線的右支上存在一點P，使得|PF₁|=3|PF₂|，則雙曲線的離心率e的取值范圍為（　　）

• A．[

  2

  ，+∞）
• B．[2，+∞）
• C．(1，

  2

  ]
• D．（1，2]

Answer 1

分析：設P點的橫坐標為x，根據|PF₁|=3|PF₂|，P在雙曲線右支（x≥a），利用雙曲線的第二定義，可得x關于e的表達式，進而根據x的范圍確定e的范圍．

解答：解：設P點的橫坐標為x
∵|PF₁|=3|PF₂|，P在雙曲線右支（x≥a）
根據雙曲線的第二定義，可得3e（x-

a2

c

）=e（x+

a2

c

）
∴ex=2a
∵x≥a，∴ex≥ea
∴2a≥ea，∴e≤2
∵e＞1，∴1＜e≤2
故選D．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，考查了雙曲線的第二定義的靈活運用，屬于基礎題．