Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和滿足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足an(2bn-1)=1，并記T_n為{b_n}的前n項和，求證：3T_n+1＞log₂（a_n+3），n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）先根據題設求得a₁，進而根據a_n+1=S_n+1-S_n整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0求得a_n+1-a_n=3，判斷出{a_n}是公差為3，首項為2的等差數列，則數列的通項公式可得．
（2）把（1）中的a_n代入an(2bn-1)=1可求得b_n，進而求得前n項的和T_n，代入到3T_n+1-log₂（a_n+3）中，令f(n)=(

3

2

•

6

5

•…•

3n

3n-1

)3•

2

3n+2

，進而判斷出f（n+1）＞f（n），從而推斷出3T_n+1-log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0，原式得證．

解答：解：（1）由a1=S1=

1

6

(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或a₁=2，由假設a₁=S₁＞1，因此a₁=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=

1

6

(an+1+1)(an+1+2)-

1

6

(an+1)(an+2)，
得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
即a_n+1-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，因a_n＞0，故a_n+1=-a_n不成立，舍去
因此a_n+1-a_n=3，從而{a_n}是公差為3，首項為2的等差數列，
故{a_n}的通項為a_n=3n-1
證明：由an(2bn-1)=1可解得bn=log2(1+

1

a2

)=log2

3n

3n-1

；
從而Tn=b1+b2+…+bn=log2(

3

2

•

6

5

•…•

3n

3n-1

)
因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(

3

2

•

6

5

•…•

3n

3n-1

)3•

2

3n+2

令f(n)=(

3

2

•

6

5

••

3n

3n-1

)3•

2

3n+2

，則

f(n+1)

f(n)

=

3n+2

3n+5

•(

3n+3

3n+2

)3=

(3n+3)3

(3n+5)(3n+2)2

因（3n+3）³-（3n+5）（3n+2）²=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n）
特別地f(n)≥f(1)=

27

20

＞1，從而3T_n+1-log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0
即3T_n+1＞log₂（a_n+3）

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式．涉及了不等式的證明，綜合考查了學生對數列知識的靈活運用．