Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間和極值；

（2）是否存在實數，使得函數在上的最小值為1？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間是，單調遞增區間是．極小值，無極大值．（2）存在實數，使得函數在上的最小值為．

【解析】試題分析：（1）先求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，進而確定單調區間和極值（2）先根據導函數是否變化分類討論：當時，導函數恒為正，所以最小值為；當時，導函數先負后正，所以最小值為；當時，導函數為負，最小值為，最后根據最小值為1，解對應的值。

試題解析：解：由題意知函數的定義域為，．

（Ⅰ）當時，，

當時，，當時，，

所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是．

所以當時，函數有極小值，無極大值．

（Ⅱ）①當時，函數在為增函數，

∴函數在上的最小值為，顯然，故不滿足條件；

②當時，函數在上為減函數，在上為增函數

故函數在上的最小值為的極小值，

即，滿足條件；

③當時，函數在為減函數，

故函數在上的最小值為，即，不滿足條件．

綜上所述，存在實數，使得函數在上的最小值為．